UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Prof° Edison Figueiredo - 1ª Lista, Questão 24
Calcule o volume limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que calcular o volume do cilindro
delimitado pelos planos e . Este sólido é tal que
podemos calcular o volume usando integração dupla se escrevermos a seguinte integral
em que . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!
Passo 2
A função é dada pelo plano que serve como tampa, temos que
O domínio é a circunferência que intercepta o plano dada simplesmente por
sendo assim, temos que resolver a seguinte integral
Os limites podem ser encontrados de maneira conveniente se usarmos coordenadas polares da forma
e
como o jacobiano da mudança de coordenadas é simplesmente dado por
temos que
como é uma circunferência completa, os limites são dados simplesmente por
Vamos resolver as integrações agora!
Passo 3
Como os limites de integração são constantes (a região é retangular) temos que a ordem de integração não importa, então, vamos integrar primeiro em , temos que
usando que
e que
nos resta apenas a seguinte integral
a integral em pode ser identificada como
podemos então escrever que
A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!