Seja a área A o conjunto de pontos tais que y ≥ x^2 - 1 , y ≤ (x^2 / 4) + 2 , y >= 0 e 0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 0 ;
  2. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 2 .

Passo 1

Molecada MUITO boa, vambora! Usando o traço que fizemos no item ( a )

A fim de calcular o volume de revolução em torno de x = 2 , utilizaremos cascas cilíndricas de raio r = 2 - x e altura x 2 - 1 ≤ h ≤ x 2 4 + 2 , com espessura d r = - d x , o volume pelas cascas seria:

V = 2 π ∫ r h d r

= 2 π ∫ 2 0 ( 2 - x ) x 2 4 + 2 - x 2 - 1 ( - d x )

= 2 π ∫ 0 2 ( 2 - x ) - 3 x 2 4 + 3 d x

= 2 π ∫ 0 2 3 x 3 4 - 3 x 2 2 - 3 x + 6   d x

= 2 π + 3 x 4 16 - x 3 2 - 3 2 x 2 + 6 x 0 2

= 2 π ( 3 - 4 - 6 + 12 )

= 10 π

Resposta

V = 10 π

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