UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 3, Questão 2b
Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :
b) , . ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas e em torno do da reta , que é paralea ao eixo . Sendo assim, nossa região em amarelo, vai rotacionar em torno da reta em verde na figura:
Pelo método dos anéis, nós sabemos que dá pra gente girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, ) e o raio interno (a função que está abaixo, ).
Só que precisamos considerar que nosso eixo de rotação é uma reta paralela ao eixo , sendo assim, o raio externo e o raio interno não são mais e , porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância de cada curva até essa reta .
Assim, temos:
No nosso caso, e . O intervalo é dado pela interseção entre as parábolas. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando nosso intervalo de integração na interseção entre e :
Então, nosso intervalo vai de a :
Passo 3
Agora vamos definir os raios externo e interno, respectivamente:
Então, nossa integral para o volume de rotação será:
Abrindo os produtos, temos:
Resolvendo a integralzinha:
Aplicando os intervalos de integração:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉