Seja R a região limitada pelos gráficos de y = 2x - x^3 e y = x para x ∈ [0, 1] e S o solido obtido pela revolução desta área em torno do eixo y.

  1. Calcule o volume de S.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui, e agora vamos dar inicio a resolução dessa querida questão, onde iremos calcular o volume de revolução de uma função.

Antes de tudo, vamos dar uma olhada na região S.

O volume do solido S é dado pela equação

V = π ∫ a b F y 2 - G y 2 d y

Passo 2

Como temos uma simetria no nosso volume, poderemos calcular o da origem até x = 1 e dobrar o valor encontrado.

A função f ( x ) é a mais externa, sendo ela a y = x . Mas note que para facilitar nossas vidas, podemos girar esse solido em relação ao eixo x, pois aqui temos uma simetria

V = π ∫ a b F x 2 - G x 2 d x

= π ∫ 0 1 2 x - x 3 2 - x 2 } d x

= π ∫ 0 1 4 x 2 - 4 x 4 + x 6 - x 2 d x

Resolvendo nossa querida integral, encontramos

= 12 π 35

Resposta

= 12 π 35

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