UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Lista de Exercícios 2, Questão 9b
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
b) , ; em torno do eixo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pelas retas , , em torno do eixo .
Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em azul, que é o eixo .
Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, ) e o raio interno (a função que está abaixo, ).
Assim, temos:
No nosso caso, e . O intervalo é dado pela interseção entre as curvas. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando o intervalo de integração, igualando as duas funções:
Então, o gráfico de intersepta o eixo em e (como a gente viu na figura do passo ). Agora podemos montar nossa integral:
A gente pode separar a integral da soma na soma de integrais, assim:
Integrando cada termo usando a regra da potência (), temos:
Aplicando os intervalos de integração:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉