Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

b) y = 1 - x 2 , y = 0 ; em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pelas retas y = 1 - x 2 , y = 0 , em torno do eixo x .

Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em azul, que é o eixo x .

Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo [ a ,   b ] . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, f ( x ) ) e o raio interno (a função que está abaixo, g ( x ) ).

Assim, temos:

V = ∫ a b ( π f x 2 - π g x 2 ) d x

No nosso caso, f x = 1 - x 2 e g x = 0 . O intervalo [ a ,   b ] é dado pela interseção entre as curvas. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o intervalo de integração, igualando as duas funções:

f x = g x

1 - x 2 = 0

x 2 = 1 → x = ± 1

Então, o gráfico de f ( x ) intersepta o eixo x em x = - 1 e x = 1 (como a gente viu na figura do passo 1 ). Agora podemos montar nossa integral:

V = ∫ - 1 1 ( π 1 - x 2 2 - π 0 2 ) d x

V = π ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x

A gente pode separar a integral da soma na soma de integrais, assim:

V = π ∫ - 1 1 1 d x - ∫ - 1 1 2 x 2 d x + ∫ - 1 1 x 4 d x

Integrando cada termo usando a regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), temos:

V = π x - 2 x 3 3 + x 5 5 - 1 1

Aplicando os intervalos de integração:

V = π ( 1 ) - 2 3 1 2 + 1 5 5 - - 1 + 2 3 - 1 3 - - 1 5 5

V = π 1 - 2 3 + 1 5 + 1 - 2 3 + 1 5

V = 16 15 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 16 15 π

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