USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 6d
Determine o volume do sólido em cada um dos seguintes casos:
d) é limitado pelos planos , , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado pelos planos , , e . Os planos planos , , são os nossos planos coordenados no espaço tridimensional, então vamos plotar aplenas o plano .
Olhando o gráfico, a gente consegue perceber que varia de até o plano. Pra descobrir como e estão variando, vamos precisar plotar a projeção desse gráfico no plano . Fazemos isso zerando na equação . Assim, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:
Vamos lá!
Passo 2
Nós vimos pelo gráfico que vai de zero até o plano. Então, temos:
Fazendo na equação do plano, temos:
Plotando isso no plano , vamos obter a reta:
Agora olhando nesse gráfico, repare que o vai de até . E o nosso varia de até a reta. Então, temos:
Passo 3
Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:
Integrando primeiro em relação a , temos:
Integrando agora em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Por fim, integrando em relação , vamos obter:
Aplicando os limites em e somando as frações:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉