Dados os gráficos de y = x^2 , y = raiz(x) e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(d) Formule uma integral que calcula a área A4 usando equações paramétricas.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para formularmos a integral que calcula a área A4 usando equações paramétricas. Para montarmos essa integral, vamos parametrizar as curvas que delimitam essa área e utilizar a definição:

A = ∫ t i t f y ( t ) x ' ( t ) d t

Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a área que deve ser calculada, essa é delimitada superiormente por y = x e inferiormente por y = x 2 no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 :

Passo 3

Parametrizando as curvas:

y 1 ( x ) = x   :   x = t , y 1 ( t ) =   t , sendo 0 ≤ t ≤ 1

y 2 ( x ) = x 2   :   x = t ,   y 2 ( t ) =   t 2 , sendo 0 ≤ t ≤ 1

Agora já podemos montar a integral que irá calcular a área A4.

Passo 4

A área é dada por:

A 4 = ∫ t i t f y ( t ) x ' ( t ) d t = ∫ 0 1 ( y 1 ( t ) - y 2 ( t ) ) ( x ' ) d t = ∫ 0 1 ( t - t 2 ) ( 1 ) d t

Note que fazemos a diferença entre a função que delimita superiormente e a que delimita inferiormente a área A4. Então a integral é

A 4 = ∫ 0 1 ( t - t 2 ) d t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A 4 = ∫ 0 1 ( t - t 2 ) d t

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