UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Lista de Exercícios 2, Questão 9c
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
c) , , , ; em torno do eixo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pelas semicircunferência e as retas , , ; em torno do eixo .
Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em azul, que é o eixo .
Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, ) e o raio interno (a função que está abaixo, ).
Assim, temos:
No nosso caso, e . O intervalo é dado pelas retas , . Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Montando nossa integral, temos:
A gente pode separar a integral da soma ou subtração na soma ou subtração de integrais, assim:
Integrando cada termo usando a regra da potência (), temos:
Aplicando os intervalos de integração:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉