USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.6b
Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto
Passo 1
Para determinar o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto
em torno do eixo , podemos utilizar o método da casca cilíndrica.
Primeiro, vamos entender as condições dadas para o conjunto
1. define a região limitada entre no plano
2. define uma faixa no primeiro quadrante entre as curvas .
Agora, vamos escrever as coordenadas cilíndricas em termos de \(x\) e \(y\):
As restrições em coordenadas cilíndricas se tornam:
Passo 2
Agora, podemos escrever o integral para calcular o volume:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes:
Substituindo na integral original:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d