Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto
Passo 1
Para determinar o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto
em torno do eixo , podemos utilizar o método da casca cilíndrica.
Primeiro, vamos entender as condições dadas para o conjunto
1. define a região limitada entre no plano
2. define uma faixa no primeiro quadrante entre as curvas .
Agora, vamos escrever as coordenadas cilíndricas em termos de \(x\) e \(y\):
As restrições em coordenadas cilíndricas se tornam:
Passo 2
Agora, podemos escrever o integral para calcular o volume:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes:
Substituindo na integral original: