Seja a área A o conjunto de pontos tais que y >= x^2 - 1 , y ≤ (x^2 / 4) + 2 , y >= 0 e 0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 0 ;
  2. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 2 .

Passo 1

Molecada boa, vambora! Antes de tudo precisamos desenhar nossa região. Visto que as parábolas tem eixo de simetria no eixo y fica mais simples, mas no final obtemos:

A fim de calcular o volume de revolução em torno de x = 0 , utilizaremos cascas cilíndricas de raio r = x e altura x 2 - 1 ≤ h ≤ x 2 4 + 2 , com espessura d r = d x , o volume pelas cascas seria:

V = 2 π ∫ r h d r

= 2 π ∫ 0 2 x x 2 4 + 2 - x 2 - 1 d x

= 2 π ∫ 0 2 x - 3 x 2 4 + 3 d x

= 2 π ∫ 0 2 - 3 x 3 4 + 3 x   d x

= 2 π - 3 x 4 16 + 3 x 2 2 0 2

= 2 π ( - 3 + 6 )

= 6 π

Resposta

V = 6 π

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