UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.37c
Seja
(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar a existência de assíntotas horizontais e verticais na função. Para isso, a gente precisa lembrar que para encontrar assíntotas horizontais, vamos calcular os limites da nossa função com tendendo a mais e menos infinito:
Onde . Assim, se um ou dois limites resultarem em um valor finito , ou seja, não explodirem para mais ou menos infinito, teremos uma assíntota horizontal em .
Agora para encontrar possíveis assíntotas verticais, nós temos que achar valores de que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela. Então, fazer os limites laterais da função com tendendo aos valores problemáticos. Assim, se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite função quando :
Dividindo todo mundo por para fugir da indeterminação, temos:
Aplicando o limite para tendendo a mais infinito:
De forma semelhante, vamos calcular o limite da função quando :
Dividindo todo mundo por para fugir da indeterminação e aplicando o limite:
Então, em temos uma assíntota horizontal.
Passo 3
Agora vamos dar uma olhadinha de novo na nossa função e pensar nos valores que não pode assumir. Nós sabemos que o denominador de uma fração não pode ser zero, então, temos:
Então, esses vão ser nossos pontos problemáticos, e . Calculando os limites laterais da função, quando tende a esses valores, vamos ter:
Então, encontramos uma assíntota vertical em na direção de e .
Da mesma forma, verificando os limites laterais para quando , temos:
E temos mais uma assíntota vertical em , na direção de mais infinito e na direção de menos infinito.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉