USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 6
Considere a função
Então
a) a curva de nível de está contida em uma hipérbole.
b) a curva de nível de é uma elipse.
c) a curva de nível de é uma parábola.
d) a curva de nível de está contida em uma elipse.
e) a curva de nível de é um conjunto vazio.
Passo 1
Eai galerinha, beleza? Bora resolver mais uma questão!!!
O enunciado forneceu uma função de duas variáveis:
Note que essa função não está definida em . Queremos analisar as curvas de nível dessa função. Nas alternativas aparecem os níveis e . Vamos fazer primeiro para a curva de nível . Para isso, igualamos :
Logo,
Portanto,
Ou ainda,
Passo 2
Para identificar a curva, vamos completar quadrados!
Mas note que
Portanto,
Assim, a equação da curva de nível é
Ou ainda
Como apenas uma das incógnitas aparece ao quadrado, trata-se de uma parábola! Mas note uma coisa: o ponto pertence a essa curva:
Assim, a curva de nível não é toda a parábola: devemos tirar a origem! Assim, a alternativa C não pode ser assinalada já que ela diz que toda a parábola é a curva de nível!
Passo 3
Vamos ver agora qual é a curva de nível de :
Assim,
Logo,
Portanto,
Passo 4
Completando quadrados:
Assim,
Portanto,
Trata-se de uma hipérbole. Mas note que a origem pertence a essa curva também! Então a curva de nível não é a hipérbole toda, de modo que a alternativa A está correta: a curva de nível está contida numa hipérbole, mas não é a hipérbole toda!
Pode assinalar a alternativa A sem dó 😉
Resposta
Alternativa A.