Curvas Parametrizadas, Funções de Várias Variáveis
Seja . Determine a equação da reta tangente à curva de nível no ponto .
Passo 1
Reta tangente à curva de nível? Então temos que, antes de mais nada, ver que curva é essa!
Vamos lá, para o nível , temos:
Agora, devemos parametriza-la, para depois deriva-la e encontrar o vetor tangente! Então, podemos isolar uma das variáveis. A mais fácil parece ser o , passando o para o outro lado:
Agora, chamando de , temos que . A parametrização fica, então:
Passo 2
Show, agora devemos ver o valor do parâmetro o ponto :D E, para a nossa sorte, ele já está aí! Para o ponto , temos que:
Como a segunda coordenada da curva parametrizada é , e a segunda coordenada do ponto é , então temos que ! Veja que esse valor é realmente correto, pois atende às primeiras coordenadas:
Passo 3
Agora que temos o valor do parâmetro, podemos derivar a curva para obter o vetor diretor da reta tangente:
Usando a regra do quociente para a primeira coordenada, temos:
Jogando o valor do parâmetro, , temos:
Passo 4
Pronto! Temos o vetor diretor da nossa reta, que é a derivada da curva no ponto de tangência! Agora, só jogar na equação da reta:
Ou seja, o vetor diretor “esticado” pelo parâmetro , e depois transladado pelo valor do ponto :D