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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.6a

Seja f x , y = 3 x - 1 2 + y - 1 2 x 2 - y 2

  1. Num mesmo sistema de coordenadas, esboce as curvas de nível de f nos níveis k = 1 e k = 3 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui, e vamos de mais uma resolução. Para esboçar iremos utilizar o nosso amigo GeoGebra, por ele irá facilitar nossas vidas. Para esboçar uma curva de nível o que iremos fazer é igualar f ( x , y ) a uma constante k e vermos a curva que é formada.

Passo 2

f x , y = k

3 x - 1 2 + y - 1 2 = k x 2 - k y 2

3 - k x 2 - 6 x + 1 + k y 2 - 2 y + 4 = 0

Agora iremos substituir por valores arbitrários e checar,

k = 3

- 6 x + 4 y 2 - 2 y + 4 = 0

x = 1 3 2 y 2 - y + 2

Para

k = 1

2 x 2 - 6 x + 2 y 2 - 2 y + 4 = 0

x - 3 2 2 + y - 1 2 2 = 1 2

Agora esboçando

Resposta

Ver o desenvolvimento.