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Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Física 3, Provas de Física 3 - Profº Abílio - 1ª Avaliação Parcial (P1), Questão 4c

Uma camada esférica feita de um material não condutor de raio interno a e raio externo b tem densidade volumétrica uniforme de carga

ρ ( r ) = ρ 0 r

na região a   ≤   r   ≤   b (veja a Figura 3), onde ρ 0 é uma constante positiva. Determine expressões para o campo elétrico nas regiões: (a) r b.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar o campo elétrico no interior da casca esférica, r > b . Para isso, vamos utilizar a lei de Gauss:

∮ E . n ^   d A = q i n ε 0

Fazendo de superfície gaussiana uma superfície esférica de raio r.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos que a área da superfície esférica é dada por 4 π   r 2 , sendo r o seu raio. Então, como o campo está apontando na direção do raio da esfera:

∮ E . n ^   d A = E   4 π   r 2

Passo 3

Temos que para r > b , q i n pode ser escrita da seguinte forma

q i n = ∫ a b ρ 0 r d V e s f e r a = 4 π ∫ a b ρ 0 r r ' 2 d r ' = 2 π ρ 0 ( b 2 - a 2 )

Assim, podemos isolar o campo elétrico

E   4 π   r 2 = 2 π ρ 0 ( b 2 - a 2 ) ε 0

E = ρ 0 ( b 2 - a 2 ) 2 ε 0 r 2 ,   r   > b .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

E = ρ 0 ( b 2 - a 2 ) 2 ε 0 r 2 ,   r   > b .

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