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Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

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Enunciado

Uma carga elétrica está uniformemente distribuída dentro de uma esfera isolante de raio

0,30   m . O campo elétrico num ponto P , que se encontra a 0,60   m do centro da esfera é de 1,5 × 10 4   N / C apontando radialmente para fora da esfera. Qual o valor máximo do campo elétrico gerado por esta esfera?

  1. 9 × 10 4   N / C
  2. 6 × 10 4   N / C
  3. 4 × 10 4   N / C
  4. 3 × 10 4   N / C
  5. 2 × 10 4   N / C

Passo 1

Como a carga está uniformemente distribuída dentro da esfera, temos que a densidade de carga é dada por

ρ = q 4 3 π R 3

Em uma esfera de raio r < R concêntrica à esfera carregada, a carga total é dada por

q i n t = ρ V = q 4 3 π R 3 4 3 π r 3

q i n t = q r 3 R 3

Pela lei de Gauss temos

∫ E → . d A → = q i n t ϵ 0

4 π r 2 E = q ϵ 0 r 3 R 3

E = q 4 π ϵ 0 r R 3 ,   ( r < R )

Já para uma gaussiana de raio r ≥ R , temos que a carga total dentro da gaussiana é a carga total da esfera

E = q 4 π ϵ 0 1 r 2 ,   ( r ≥ R )

Analisando o campo elétrico nas duas regiões vemos que ele é máximo para r = R .

Passo 2

O ponto P está a uma distância r = 2 R = 0,6 m , ou seja

E P = q 4 π ϵ 0 1 2 R 2 = 1,5 × 10 4 N / C

Já o campo em r = R seria

E r = R = q 4 π ϵ 0 1 R 2

Olhando de novo para o campo em P podemos reescrever

E P = q 4 π ϵ 0 1 2 R 2 = 1 4 q 4 π ϵ 0 1 R 2 = 1 4 E r = R

Assim

E r = R = 4 E P = 4 × 1,5 × 10 4

E r = R = 6 × 10 4 N / C

Resposta

(B)

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