Campo em Condutores
Uma casca cilíndrica circular muito longa (infinita), de raio interno e raio externo , está uniformemente carregada, com uma densidade volumar constante.
- Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial);
- Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região ;
- Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região ;
- Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região .
Passo 1
Desenhando uma seção reta, supomos que o eixo do cilindro está em :
A ideia de achar a carga é sempre brincar com a densidade. A definição da densidade volumar é:
Melhorando essa notação para fazer sentido a questão:
Como se quer a densidade por unidade de comprimento, isolamos o que se quer, utilizando coordenadas cartesianas:
Passo 2
Integrando temos na coroa circular temos:
A densidade é constante então sai fora da integral:
Agora temos só a integral do elemento de área:
Trabalhando em coordenadas polares, teremos:
Na real, não importa em quais coordenadas estamos, a integral será simplesmente a área total. Mas caso você prefira integrar, a resolução será:
E achamos nossa densidade por comprimento:
Passo 3
Agora ele quer o campo, então partimos pra violência com Gauss.
Enunciando a Lei:
Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário e comprimento arbitrário .
Passo 4
Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que o vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares a ele, de forma que:
Passo 5
Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:
E temos então a área da lateral com nossa integral:
A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:
Logo, temos:
Como pela simetria o campo deve ter uma componente radial somente:
Passo 6
Agora vamos atacar as regiões por partes. Começando por , temos que a carga interna à Gaussiana é a carga total do cilindro:
Não sabemos esse valor, mas sabemos sua densidade por unidade de comprimento. Portanto, por regra de três, se a Gaussiana tem um comprimento :
Que é a densidade por unidade de comprimento. Vamos chamar de uma letra bonitinha esse valor pra facilitar as contas:
Show. Continuando:
Então temos na fórmula:
Arrumando:
Substituindo o lambda que nós calculamos no primeiro passo:
Passo 7
Agora vamos brincar com a região . Neste caso nossa carga interna é um pouco menor (em módulo) que a total, pois a Gaussiana encerra um volume menorzinho.
Dessa forma só vamos poder descobrir a carga integrando a densidade dentro dos limites da Gaussiana. Pela mesma lógica de antes:
A Gaussiana é um cilindro de raio variando entre e . Dentro do buraco não temos carga. Mudando para coordenadas polares:
Essa zoeira não é matematicamente formal porque duas integrais viram uma, mas nós já comentamos algumas vezes. A parada funciona! É como se estivéssemos já pré-calculando a integral em e jogando lá direto. Então integral fica:
Resolvendo:
Substituindo na fórmula:
Arruma-se:
Passo 8
Pela lógica aplicada até agora temos que a carga interna à Gaussiana na última região é:
Logo: