Densidade de Carga, Lei de Gauss, Campo em Condutores
Uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo está carregada com carga elétrica positiva . No centro da casca, na cavidade interna, há uma carga puntiforme .
Determine a densidade superficial de carga na superfície interna do condutor.
Calcule o campo elétrico na região externa do condutor.
Passo 1
Determine a densidade superficial de carga na superfície interna do condutor.
Se tivéssemos apenas a casca esférica carregada com carga , toda essa carga se encontraria na superfície externa da casca, de forma que a superfície interna teria carga nula.
Mas assim que colocamos a carga pontual no interior da casca esférica, uma determinada quantidade de carga será atraída pela carga pontual, assim como outra determinada quantidade de carga vai ser repelida pela mesma.
No equilíbrio eletrostático, a carga atraída para a superfície interna deve ser igual, em módulo, à carga da esfera , mas com o sinal oposto:
Por definição, a densidade superficial de carga é dada por:
Onde é a área da superfície interna da camada esférica.
Logo:
Passo 2
Calcule o campo elétrico na região externa do condutor.
Pra calcular o campo elétrico, vamos ter que recorrer à Lei de Gauss, dada por:
Com a simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:
Onde é a área da nossa gaussiana que, por conta da geometria esférica do problema, também é uma esfera, logo:
Onde para podermos calcular o campo elétrico na região externa do condutor.
Onde é a soma de todas as cargas que estão englobadas pela gaussiana. Nesse caso:
Logo:
Nesse tipo de geometria, o campo elétrico aponta sempre na direção radial, logo:
Resposta