Considere uma casca cilíndrica isolante de altura “infinita”, raio interno e raio externo . Ao longo desse cilindro existe uma carga distribuída homogeneamente com densidade volumétrica não uniforme .
Nota: a figura mostra a seção transversal da casca cilíndrica.
a) Encontre o módulo do campo elétrico na região .
b) Encontre o módulo do campo elétrico fora da casca .
c) Encontre o módulo do campo elétrico dentro da casca, .
Considere agora que a casca cilíndrica seja envolvida por uma outra casca cilíndrica condutora de raio interno e raio externo . A carga líquida da casca condutora é nula e o sistema já alcançou o equilíbrio eletrostático.
d) Encontre o módulo do campo elétrico na região .
e) Encontre o módulo do campo elétrico na região .
Passo 1
Para resolver essa questão, antes de tudo vamos lembrar que como a casca cilíndrica é isolante, toda a carga está apenas em sua superfície. Agora precisamos escolher uma superfície gaussiana e calcular o campo elétrico através dela em cada região que o exercício pede ok?
A gente pode escolher como superfície gaussiana uma casca cilíndrica de raio concêntrica à casca do exercício. O fluxo elétrico vai ser
Sabendo que a área da superfície de um cilindro é :
Agora é só relacionar esse fluxo à Lei de Gauss em cada região :)
Passo 2
a) Para
Nessa região, a superfície gaussiana está dentro da casca cilíndrica, portanto, como a gente lembrou no passo 1, não há carga ali.
Na Lei de Gauss:
b) Para
Agora a nossa gaussiana está fora da casca cilíndrica, então a carga dentro da superfície vai ser a carga inteira que está na casca, ou seja
Sendo assim
c) Para
Nesse caso, a carga dentro da superfície gaussiana vai ser dada por
Onde é o volume da casca cilíndrica que está dentro da superfície, ou seja
Sendo assim
Como o exercício fala pra gente que :
Agora sim, vamos aplicar na Lei de Gauss
Passo 3
d) Nesse caso, estamos numa região dentro da casca cilíndrica condutora. Masss lembra que dentro de qualquer material condutor o campo elétrico é nulo?? Logo:
Passo 4
e) Agora estamos do lado de fora das duas cascas. Então a carga dentro da nossa superfície gaussiana é a carga da casca cilíndrica isolante + a carga da condutora, ou seja:
Aplicando na Lei de Gauss, vamos chegar que