Densidade de Carga, Lei de Gauss
Uma distribuição de cargas, esfericamente simétrica, tem densidade volumétrica
onde é uma constante positiva.
Calcule a carga contida em uma esfera de raio concêntrica com a distribuição de carga. Calcule a carga total da distribuição.
Calcule o vetor campo elétrico para .
Calcule o vetor campo elétrico para .
Passo 1
Calcule a carga contida em uma esfera de raio concêntrica com a distribuição de carga. Calcule a carga total da distribuição.
A carga está relacionada com a densidade volumétrica de carga através da relação:
Como estamos trabalhando com uma esfera, o elemento de volume será:
Substituindo a expressão de que o problema nos deu, teremos:
A carga total da distribuição é dada quando . Assim:
Passo 2
Calcule o vetor campo elétrico para .
Pra calcular o campo elétrico, vamos ter que recorrer à lei de Gauss, dada por:
Por conta da simetria do problema, o campo elétrico tem direção radial.
Além disso, podemos dar uma explorada na simetria do problema, também pra simplificar a expressão da lei de Gauss. Por conta da simetria esférica, podemos reescrevê-la como:
Onde é a quantidade de carga envolvida pela nossa amperiana. Logo:
Opa! No item anterior nós já descobrimos que, para , a carga tem a seguinte expressão:
Sendo assim:
Finalmente:
Passo 3
Calcule o vetor campo elétrico para .
Nesse caso, a ideia é a mesma de antes, a única diferença aqui é que, agora, a gaussiana engloba toda a esfera, logo:
Portanto:
Pra acabar:
Resposta