Suponha um cilindro dielétrico oco de raio R 1 com densidade superficial de carga + σ 1 , envolto por outro cilindro oco de raio R 2 com densidade superficial de carga - σ 2 . Os eixos os cilindros são coincidentes. Os valores do módulo do campo elétrico para r < R 1 ,   R 1 < r < R 2 ,   r > R 2 e a razão σ 2 / σ 1 para que o campo elétrico seja nulo em qualquer valor de r > R 2 são respectivamente:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Vamos começar pela região r < R 1

Ali não temos carga, pois o cilindro é oco, então ali não há campo elétrico:

E = 0

Passo 2

Agora na região R 1 < r < R 2 :

Usando a simetria na Lei de Gauss, o campo elétrico em um condutor cilíndrico é:

E = Q i n t ϵ 0 2 π r L

Internamente temos apenas as cargas associadas com a densidade superficial de cargas + σ 1 , pois a outra está na superfície r = R 2 , e não estamos falando dessa região.

A densidade superficial de cargas é:

σ 1 = + Q i n t 2 π R 1 L ∴ σ 1 R 1 = + Q i n t 2 π L

Então o campo elétrico nessa região fica assim:

E = 1 ϵ 0 1 r .   σ 1 R 1

E = σ 1 R 1 ϵ 0 r

Passo 3

Agora vamos analisar a região para r > R 2 :

Nessa região temos compreendidas as duas superfícies do cilindro, logo é preciso levar em conta as duas densidades superficiais de carga. Sabendo que a mais interna é positiva e a mais externa é negativa e seguindo o mesmo raciocínio do passo anterior, o campo elétrico nessa região é:

σ 1 = + Q i n t 2 π R 1 L ∴ σ 1 R 1 = + Q i n t 2 π L

σ 2 = - Q i n t 2 π R 2 L ∴ σ 2 R 2 = - Q i n t 2 π L

E = 1 2 π ϵ 0 L Q R 1 r - Q R 2 r

E = σ 1 R 1 - σ 2 R 2 ϵ 0 r

Passo 4

E por fim para determinar que nessa região o campo elétrico seja nulo precisamos ter:

E = σ 1 R 1 - σ 2 R 2 ϵ 0 r = 0

E daqui temos uma relação entre as densidades superficiais e os raios:

σ 1 R 1 - σ 2 R 2 = 0 . ϵ 0 r

σ 1 R 1 - σ 2 R 2 = 0

σ 1 R 1 = σ 2 R 2

σ 2 σ 1   = R 1 R 2

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

0

σ 1 R 1 ϵ 0 r

σ 1 R 1 - σ 2 R 2 ϵ 0 r

σ 2 σ 1   = R 1 R 2

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