Considere a série de potências
- Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências acima
Passo 1
Antes de tudo, precisamos reescrever essa série na forma geral .
=
Assim, temos uma série de potências centrada em
Passo 2
Para determinar o raio de convergência da série, usamos o critério da razão.
Então:
Assim:
Conforme o teste da Razão, tem-se quee. Portanto, temos que
.
Passo 3
Vamos calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em , sabemos que esse intervalo é:
Nesse intervalo, pelo menos, sabemos que a série converge. É necessário descobrir se as extremidades e estão inclusas ou não.
Passo 4
No ponto :
Denominando e , iremos usar o teste da comparação no limite.
Como o resultado foi 1, ambas as séries possuem o mesmo comportamento, isto é, ambas são
divergentes uma vez que a série harmônica sempre diverge. Logo, a série no ponto
diverge.
Passo 5
No ponto x = 5:
A série se torna uma série alternada. Aplicando o teste da série alternada, temos:
Denominando e , iremos usar o teste da comparação no limite.
Como o resultado foi 1, ambas as séries possuem o mesmo comportamento, isto é, ambas são
divergentes uma vez que a série harmônica sempre diverge. Decorrente disso, tem-
se que a série alternada não converge absolutamente.
Além disso, podemos observar que e é uma função decrescente.
Conclusão: a série alternada converge condicionalmente. Temos, então,
Resposta
- R=3 e (-1,5]