UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 3c
Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada
Passo 1
Fala galerinha, tudo bem? Precisamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série de potências aqui
Mas você lembra como encontrar?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!
Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo
Dizemos que ela é convergente se
Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de isso acontece!
Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será !
E agora o que fazer para determinar o intervalo?
Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série é a seguinte
Nosso termo geral é
Agora fazendo temos
Tranquilo até aqui?
Agora vamos determinar a razão , simplificar e separar parte em parte em :
Agora vamos calcular o limite quando
A parte dependente de pode sair do limite, ficamos apenas com a parte em
Beleza?
Aplicando a Regra de L’Hôpital no limite temos
Então nosso limite converge! Ótima notícia!
Relembrando dos critérios para a convergência:
Dizemos que a série converge absolutamente quando
Então
Encontramos portanto nosso raio de convergência!
Estamos quase lá! Bora achar o intervalo!
Passo 3
Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência
Encontramos nosso intervalo:
Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de :
Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.
Passo 4
Passo 5
Para o primeiro valor de , com , nossa série de potências
Fica assim
Temos uma série alternada do tipo ! O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:
1º)
2º)
Nossa série tem , portanto , ok, primeiro critério satisfeito! Agora o segundo
Oba! Nossa série converge no extremo inferior! Então ali o intervalo é fechado
Agora vamos testar com
Vamos aplicar o teste da integral! Se a integral associada convergir, então a série também converge!
Avaliando nos limites de integração temos
Essa integral diverge! Sendo assim, nossa série é uma série divergente! Então nesse extremo o intervalo é aberto!
Passo 6
Recapitulando, nossa série:
Achamos o raio de convergência
E intervalo com os dois extremos abertos
Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado