UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 3f
Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir o raio e intervalo de convergência dessa série de potências aqui
Mas você lembra como encontrar?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!
Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo
Dizemos que ela é convergente se
Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de isso acontece!
Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será !
E agora o que fazer para determinar o intervalo?
Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série é a seguinte
Nosso termo geral incluindo é
Agora fazendo temos
Tranquilo até aqui?
Agora vamos determinar a razão e simplificar ao máximo
Agora vamos calcular o limite quando , lembrando que a parte em pode sair do limite
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver aquele limite
E agora nossa série será convergente se
Beleza?
Então
Encontramos portanto nosso raio de convergência!
Passo 3
Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência
Encontramos nosso intervalo:
Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de :
Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.
Passo 4
Para o primeiro valor de , com , nossa série de potências
Fica assim
Temos uma série harmônica, portanto divergente. Nesse extremo nosso intervalo é aberto
Agora vamos testar com :
Fica assim
Temos uma série alternada do tipo !
O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:
1º)
2º)
Nossa série tem , portanto , ok! Primeiro critério satisfeito! Agora o segundo
Oba! Nossa série converge no extremo superior! Então ali o intervalo é fechado
Passo 5
Recapitulando, nossa série:
Achamos o raio de convergência
E intervalo com um extremo aberto e outro fechado:
Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?