UFV-Calculo 2- Lista – Teste 09 -2022.2
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:
Passo 1
Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?
Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.
Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.
Aqui temos uma questão relativamente fácil, o problema é resolver a formulinha que vem a seguir.
Para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:
Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa? As coisas ficam mais concretas do que apenas ficar falando.
Passo 2
Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo da série, então vamos lá:
Agora vamos calcular o termo
Agora precisamos verificar a seguinte inequação:
Logo temos que:
Portanto temos que:
Desfazendo o módulo, temos que:
Gerando:
Passo 3
Agora que já calculamos o raio de convergência precisamos apenas analisar os extremos, logo:
Fazendo , temos que:
Rearranjando temos:
Como temos que então os valores de são só valores ímpares, portanto temos que , logo:
Que é uma p-série divergente, pois .
Passo 4
Agora vamos calcular , gerando a seguinte série:
Gerando a seguinte série:
Para examinar a convergência vamos precisar dos critérios das séries alternadas. O critério fala que uma série alternada convergente, segue duas características:
Vamos calcular o (1) primeiro, sendo assim:
Consequentemente temos:
Analisando temos que conforme aumente o denominador de aumenta, consequentemente temos que:
O segundo ponto precisamos calcular o seguinte limite:
Que é uma série convergente, pelo critério das séries alternadas. Portanto, o 3 é incluído no intervalo de convergência.