Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:

b ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n  

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.

Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.

Aqui temos uma questão relativamente fácil, o problema é resolver a formulinha que vem a seguir.

Para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:

1 R = a n + 1 a n  

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa? As coisas ficam mais concretas do que apenas ficar falando.

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n n ! = 1 n !

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! = 1 n + 1 ! = 1 n + 1 n !

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 a n = 1 n + 1 n ! * n ! = 1 n + 1

Logo temos que:

1 R = a n + 1 a n = 1 n + 1     = 1 n + 1 = 0  

Portanto temos que o raio de convergência é:

R = ∞

Desfazendo o módulo, temos que:

- ∞ < x < ∞

Resposta

- ∞ < x < ∞

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