UFV. Cálculo 2. Lista da Unidade II – MAT 147. 2022.2. Questão 4e.
4. Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potencias a seguir:
e)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos que determinar o raio de convergência e intervalo de convergência de uma serie de potência dada por .
A ideia é simples, não é?
Mas como podemos obter esses resultados?? 🤔
Nesses casos, podemos usar o teste da razão para obter as singularidades que fazem a série convergir.
Entendeu? Vamos partir para os cálculos! 😎
Passo 2
Lembrando que o teste da razão nos diz que se for menor que , converge.
Portanto se for dado por , então
Substituindo no limite, temos
Podemos reescrever como , concorda? Então vamos obter
Dessa forma, podemos cortar do numerador com o denominador, não é?
Reescrevendo a fração como
Portanto, quando tende ao infinito tende a já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito alto.
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Como vemos no início do passo 2, o limite de deve ser menor que para convergir, então
Como está em módulo, podemos dizer que pode estar entre e , ou seja
Somando em todos os lados, temos
Assim encontramos o intervalo de convergência!
Agora para obter o raio de convergência olhamos para e vemos que está centrado em
Então se varia entre e , o raio de convergência é já que e .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
, intervalo de convergência: