UFV. Cálculo 2. Lista da Unidade II – MAT 147. 2022.2. Questão 4f.
4. Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potencias a seguir:
f)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Para esse problema, foi dada uma série de potência em que podemos chamar a sequência dessa série de dada por .
A partir dessa série temos que obter o raio de convergência e o intervalo de convergência.
E aí? Tem ideia de como obter isso? 🤔🤔
Nesses casos, temos que usar o teste da razão para obter o intervalo de convergência e com isso, obter o raio de convergência.
Entendeu? Bora começar! 😉
Passo 2
O teste da razão nos diz que se o limite dado por for menor que , significa que converge.
Então usamos essas informações para definir valores de que faça essa inequação ser satisfeita.
Como vimos no passo 1, , então é dado por
Substituindo no teste da razão, temos
Podemos reescrever como e como , concorda?
Multiplicando os meios pelos extremos, vamos obter
Dessa forma, podemos simplificar e do numerador e do denominador
Também podemos reescrever como e como é igual a , então
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Dividindo o numerador e o denominador de por , vamos obter
Por fim, substituindo por
Assim, sabemos que resulta em já que uma constante dividida por um número muito grande tende a .
Ou seja, o limite obtido pelo teste da razão é dado por
Como o resultado deve ser menor que para convergir, então
Como está em módulo, então pode variar entre e
Para isolar no meio das inequações, vamos multiplicar todas as partes por
Assim obtemos o intervalo de convergência .
Agora para obter o raio de convergência, vamos olhar para em .
Como está centrado em já que nos diz onde está centrado e .
Dessa forma, se varia de a então o raio de convergência é igual a .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
, intervalo de convergência: .