Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, então vamos lá. Como temos um aparecendo ali, parece mais interessante usar o teste razão
Ai precisamos simplificar essa situação ai. Temos que
Assim, vamos ter
Passo 2
Vamos calcular esse limite aí. Podemos jogar o limite para dentro, ficando
Aí dividimos numerador e denominador pela maior potência ,
Assim, o problema vai ficar
Assim, o raio de convergência vai ser .
Passo 3
Beleza, agora como não podemos concluir nada quando o limite é pelo teste da razão, para determinar as fronteiras do intervalo de convergência, precisamos testar cada caso.
Quando , vamos ter
Essa aí é uma p-serie com , então a série converge absolutamente para e, portanto, esse ponto faz parte do intervalo de convergência.
Passo 4
Vamos ver agora para , neste caso
Que, absolutamente será
Que exatamente a -série do passo anterior. Portanto, também vai convergir absolutamente para e este ponto fará parte do intervalo de convergência.
Passo 5
Legal, então sabemos que converge para e conhecemos a convergência nos extremos, assim, montamos o intervalo de convergência
Que é um intervalo fechado justamente porque vimos que a série converge nos extremos. 😊