Determine o raio de convergência da série

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por

e, também temos que

Portanto, precisamos resolver o seguinte limite

Vamos começar a reescrever o nosso limite! Bora lá!

Primeiro, vamos usar que , temos então que

Como a variável do limite é , temos que

Avaliando o limite, temos que

Ou seja, temos que o nosso limite é

Agora, precisamos avaliar as condições sob as quais a série será convergente! Bora lá!

Nós precisamos pelas condições do teste da razão, que , portanto, temos a seguinte desigualdade

Como esta é a função módulo, ela toma valores de e nos devolve o seu valor positivo, portanto, não só os valores devem ser menores que , eles também devem obedecer a desigualdade

Ou seja, por enquanto, temos que o intervalo de convergência é tal que

No entanto, ainda não podemos dizer se os extremos e fazem parte do conjunto. Temos que avaliar eles independentemente! Vamos lá!

Para , temos que

se aplicarmos o teste da divergência, temos que

Como o limite é , a série é divergente, então o elemento não faz parte do intervalo do raio de convergência! Vamos testar o outro intervalo agora!

Usando que , temos que

Essa é uma série alternada! Para uma série alternada ser convergente é necessário que seus termos sejam decrescentes e que o limite

Nenhuma das condições são válidas! Portanto, a série acima é divergente! Ou seja, também não pertence ao intervalo do raio de convergência, ou seja, o intervalo de convergência é

e o raio de convergência é . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!