UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 4
Determine o raio de convergência da série
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências
Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 2
Para séries que tem os coeficientes elevados pela variável somada, ou seja, em nosso caso , é conveniente usar o teste da raiz, que nos diz que
Se temos que , a série converge absolutamente, se , a série não converge, se , nada se pode concluir. O nosso limite toma então a seguinte forma
note que podemos escrever a relação modular como , já que o módulo elimina qualquer sinal de menos que poderia aparecer, e o é sempre positivo! O expoente pode ser simplificado pela raiz , para obtermos
Vamos terminar alguns detalhes que faltam! Saca só!
Passo 3
Como temos que a variável do limite é , temos que o limite se torna
ou seja, temos que , portanto, não existe valor de para o qual esta série seja convergente e o raio de convergência é . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!