UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 5
Determine o raio de convergência da série
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências
Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 2
Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que
em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por
e, portanto que
E, o nosso limite toma a forma
Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 3
Usando que , podemos simplificar um pouco o limite, temos que
Podemos juntar todos os dentro da mesma raiz, e como temos que não é afetado pelo limite, obtemos
O limite só se importa com os , então ele ignora a raiz e afeta direto a razão de polinômios no radicando, como temos que , é comum dividir o numerador e o denominador de razões pelo termo de maior ordem, em nosso caso, o próprio , temos que
simplificando os , temos que
Como temos que , obtemos que a as condições de convergência devem ser aplicadas sobre
Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!
Passo 4
Para que a série seja convergente é preciso que , portanto, temos que
Como temos uma função módulo é preciso que além de , que , pois os valores negativos de são tomados como positivos! Sendo assim, nosso intervalo de convergência é dado pela desigualdade
O raio de convergência é então , pois é a distância do centro de convergência à um dos extremos! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!