13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

g) ∑ n = 0 ∞ n x n n + 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ n x n n + 2

Pelo que podemos analisar, f x = x e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

x < 1

- 1 < x < 1

- 1 < x < 1

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = 1 - - 1 2

R = 1

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Nesse caso, para x = - 1 , temos que pelo teste das series alternadas.

∑ n = 0 ∞ n ( - 1 ) n n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n n + 2 = D i v e r g e

Agora quanto x = 1 podemos perceber que a série diverge pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ n ( 1 ) n n + 2 = D i v e r g e

Logo, o intervalo de convergência é dado por

- 1 < x < 1

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

R = 1

- 1 < x < 1

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