UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 13q
13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
q)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Nesse caso, como temos um expoente de no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.
O teste da razão de uma série consiste em calcular o limite de , ou seja
Para a série convergir, o resultado do limite tem que ser menor que dessa forma vamos obter uma função de em um intervalo numérico e esse intervalo resulta no intervalo de convergência da série.
Nas bordas do intervalo temos que analisar separadamente para observar se há convergência.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso a série é dada por
Aplicando o teste da razão chegamos em
Simplificando...
Dividindo o numerador e o denominador por
Agora na fração dividimos tudo por
Fazendo , chegamos em
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Como esse resultado tem que ser maior que para a série convergir, temos
Dessa forma, o raio de convergência é dado por
Para os limites do intervalo de convergência, temos que analisar separadamente se eles entram ou não no intervalo...
Para , temos que diverge pelo teste da divergência.
Agora para podemos ver que diverge pelo teste da razão
Com isso, o intervalo de convergência é dado por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
