Encontre o intervalo de convergência da série . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.
Passo 1
Temos primeiro que achar o raio de convergência da nossa série de potências, . Lembrando que.
Passo 2
Calculando o limite
Logo o raio de convergência será
Disso já podemos afirmar que o intervalo de convergência é.
Agora devemos analisar os extremos
Passo 3
Analisando o extremo
Temos então uma série alternada e temos, pelo critério de Leibiniz, que ela convergirá se:
Onde e serão iguais a e , respectivamente. Dessa forma teremos.
Logo a série converge.
Passo 4
Analisando o extremo
Pelo teste da comparação no limite com a série harmônica, temos.
Logo as duas série irão divergir e nosso intervalo de convergência será
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n