Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

19)

f(x) = x^3 / (x - 2)^2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 3 x - 2 2

Nesse caso, vamos dividir o problema em duas partes.

Primeiro vamos encontrar a série de potência de 1 x - 2 2 e sem seguida vamos multiplicar essa série por x 3 .

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... a série de potência de 1 x - 2 2 é:

1 x - 2 2 = 4 16 x + 3 16 x 2 + 2 16 x 3 + … = ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n 16

Multiplicando por x 3 , temos:

x 3 * 1 x - 2 2 = x 3 * ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n 16 ∴

f x = ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n + 3 16

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, temos:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 5 - n 4 - n ∴

R = lim n → ∞ ⁡ n 5 n - 1 n 4 n - 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 1 ∴

R = 1

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 5 - n x n + 3 16

R = 1

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