UFJF. Equações Diferenciais I. Prova AV1. 2022.2. Questão 2.
2 – Encontre para quais valores de a série
Converge.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos uma série dada por e percebemos que ela contém uma incógnita.
O que temos que descobrir é quais os valores que deve adotar para que a série seja convergente.
Tem ideia de como fazer isso?? 🤔
Que tal aplicarmos algum teste que nos dê o resultado?
Bora ver! 😁
Passo 2
Podemos aplicar o teste da razão em que calculamos que vai nos resultar em um valor , com isso se for menor que a série converge. Entendeu? 😉
No caso, e
Dessa forma, temos
Se então podemos reescrever como
Substituindo no limite
Simplificando a fração multiplicando os meios pelos extremos, temos
Perceba que podemos simplificar do numerador e do denominador
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Se o limite de uma constante é igual ao limite multiplicado pela constante, podemos tirar para fora do limite
Continuando o cálculo do limite, temos
Dividindo o numerador e o denominador por dentro da fração
Agora vemos que quando tente ao infinito, tende a já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, portanto
Substituindo o resultado em
Vamos obter
Interessante, não é? 🤩
Passo 4
Agora, como dito no passo 2, o resultado do limite deve ser menor que para que a série seja divergente.
Simplificando essa inequação, temos
Dessa forma, podemos reescrever essa inequação como
Para , temos
Já para , temos
Com isso, vemos deve estar contido entre .
Ou seja, para a série convergir, deve ser maior que e menor que .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
