UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 13
A expressão em série de potência em torno do ponto da função
É dada por
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função aqui
E pediu para expressarmos essa função como uma série de potências
Mas como fazer isso?
Estamos falando daquelas séries de potências chave que aprendemos! A ideia aqui é dar uma espiada nessas séries e ver se podemos fazer uma correspondência entre elas! E assim vamos ter nossa representação da função em séries!
Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A função dada foi essa aqui
E vamos procurar no nosso catálogo de representação de funções em séries, qual se aproxima:
E assim por diante... note que essas séries saem da definição
Se nossa função se parecer com alguma dessas que já está pronto, ótimo! Caso contrário, precisamos aplicar essa recorrência aí para descobrir a cara da nossa série, beleza?
A gente não pode reescrever a função dada assim
Tudo bem até aqui?
Você vê que nossa função é do tipo
E qual será a derivada da função ? Eu te respondo, é essa aqui: ! E o que isso reflete na série? Precisamos derivar ela!
Tranquilo até aqui?
Agora, saindo dessa série, precisamos adequar para nossa função! é #partiu personalizar nossa série!
Passo 3
A série que estamos comparando é
E nossa função
Vamos multiplicar a série comparativa por para poder chegar na expressão certinha da nossa função:
E está aí nossa série! Podemos ainda colocar aquele para dentro do somatório (juntando os expoentes) e ter uma expressão super bonitinha para nossa função em séries de potência
Belezinha?
Mas calma que ainda não terminou! Para dar a resposta certinha que o problema pede, ele diz para completarmos a série
Então o coeficiente que está faltando ali para que seja exatamente igual ao nosso resultado é o !
Obs.: aqui não importa de a série começou em , pois o primeiro termo seria zero e o primeiro termo não nulo seria com , fica no mesmo!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!