Séries de Potência, Integração e derivação termo a termo e Séries de Taylor
Obtenha um expressão da série abaixo e o respectivo raio de convergência:
Passo 1
Colocando em evidência:
Vamos achar aquela série primeiro, para isso vamos fazer
Só para nos organizarmos bem nessa conta.
Passo 2
Olhando para a nossa , vamos ter
Opa, repara que se derivarmos essa série, vamos acabar com todas essas frações, derivando :
Melhorou um pouco, mas ainda não conseguimos ver nada.
Pera, olha que agora, temos em todas as parcelas, então
Melhorou mais um pouco. OOOOOPA!!!!!
Olhando para esse cara dentro do parênteses, vemos que é uma série geométrica. Repara que aqui, vamos ter .
Assim, vamos ter
Lembrando que devemos ter:
Assim, a nossa vai ficar:
Passo 3
Então vamos analisar através disso:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição simples:
Vamos mudar o limite de integração
Assim fica:
Supondo que , então podemos tirar o módulo
Assim finalmente:
Passo 4
Como sabemos, precisamos testar os limites da série, ou seja, quando e
Para a série fica:
E para :
Ambos são séries harmônicas de grau 1, logo divergem! Logo a resposta é