UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 7c
Obtenha representação em série de potências para cada função abaixo e determine o seu intervalo de convergência
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir a cara e o intervalo de convergência dessa função aqui
Mas você lembra como encontrar?
Dizemos que uma série de potências representa uma função quando podemos relacionar as derivadas n-ésimas das funções, assim
É o que chamamos de Série de Maclaurin da função
Então precisamos encontrar um padrão na derivada em zero!
E depois? Depois que tivermos a série de potências, vamos encontrar o raio de convergência (que são os valores de nos quais a série resultante é convergente) através do Teste da Razão para Convergência Absoluta
E agora o que fazer para determinar o intervalo?
Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é a seguinte
mas aqui tem um truque sujo! #ALERTATRUQUESUJO
Quando tivermos alguma potência de “solta”, podemos encontrar o padrão de derivada do restante da função e depois quando tivermos a série de potências na mão, só adicionar a potência em ! Além de ficar mais fácil de determinar o padrão, temos menos trabalho para derivar!
Vou “tirar” aquele por enquanto, e encontrar o padrão de derivada de Vamos derivar e aplicar em para determinar nosso padrão:
Tranquilo até aqui?
Agora vamos perceber um padrão nas derivadas aplicadas em :
E assim por diante, se tivermos a derivada de ordem , vamos multiplicar os inteiros até , mas tirando o , então
E mais! Ainda alternamos o sinal! Começamos com um sinal negativo, depois vamos alternando, assim precisamos multiplicar o fator que dá essa alternância, começando pelo negativo:
Beleza? Agora nossa função pode ser escrita em termos de uma série de potências:
E ainda precisamos adicionar aquele para ficar exatamente como queremos
Beleza?
Ainda podemos simplificar os fatoriais! Saca só
Essa é nossa série de potências!
Passo 3
Agora nossa missão é identificar o raio e o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades!
Vamos aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta
Supondo uma série , para que ela seja convergente precisamos garantir que
beleza?
Então é esse limite que precisamos encontrar!
Nossa série
Aí nosso limite fica
A parte em pode sair para fora do limite, e simplificando os máximo ficamos com esse limite aqui
No infinito podemos desconsiderar as constantes e , pois a potência de é muito maior do que uma constante, aí nosso limite fica assim
Aí para que a série seja convergente, precisamos que
sendo assim, precisamos que seja
Esse é nosso raio de convergência!
Passo 4
Partindo do raio de convergência encontramos nosso intervalo:
Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de :
Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto. Ok?
Para o primeiro valor de , com , nossa série de potências
Temos uma série alternada do tipo !
O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:
1º)
2º)
Nossa série tem , portanto , ok! Primeiro critério já não foi satisfeito! Sendo assim já podemos concluir que a série é divergente e portanto ali o intervalo é aberto
Agora vamos testar com :
Fica assim
E pelo Teste da Divergência temos que
E nossa série aqui diverge! Nesse extremo nosso intervalo também é aberto
Aí o intervalo de convergência é
Oba, terminamos! #partiu treinar mais?