UFJF – Equações Diferenciais I – Avaliações Moodle – Atividade 2022.2 – 4
O raio de convergência e o intervalor de convergência da série de potências são respectivamente:
Escolha uma opção:
a. e
b. e
c. e
d. e
e. e
f. e
g. e
h. e
i. e
j. e
k. e
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu a série:
E pediu pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembra como a gente faz isso?
O primeiro passo é a gente verificar o raio de convergência usando o teste da razão:
Então, se o nosso raio de convergência vai ser . Depois disso, como a nossa série é centrada em , nós podemos fazer e para encontrar o nosso intervalo de convergência.
Vamos lá!
Passo 2
Usando o teste da razão, temos:
Abrindo as potências, temos:
Simplificando:
Como o não interfere no limite, podemos colocar ele do lado de fora também:
Dividindo todo mundo por e aplicando o limite:
Logo, o nosso raio de convergência será:
E o nosso intervalo de convergência para , será:
Só falta a gente saber se a nossa série está definida nos extremos desse intervalo, ou seja, em e .
Passo 3
Para , temos:
Simplificando temos:
Que converge, pelo teste da série alternada. Logo, pertence ao intervalo.
Agora para , temos:
Simplificando:
Que também converge, pois é uma p-série com . Portanto, também pertence ao intervalo. Dessa forma, nosso intervalo de convergência será:
E nós podemos marcar a letra f.
Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉