UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 10
Seja uma série de potência que satisfaz para todo , para algum . Então
O raio de convergência é .
O raio de convergência da série é igual a .
O raio de convergência é .
O raio de convergência é .
O raio de convergência é .
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos indica uma série de potência da forma
e, nos diz que o elemento obedece a recorrência para todo e qualquer . E, finalmente, nos pede para determinar o raio de convergência desta série! Bem, a informação da recorrência nos ajuda bastante, pois é sempre conveniente utilizar o teste da razão para calcular raios de convergência! Saca só!
Passo 2
Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que
em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por
e, portanto que
E, o nosso limite toma a forma
Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 3
Usando que , e também temos que , podemos então simplificar um pouco o limite, temos que
Como temos que o limite afeta apenas , podemos escrever este limite como
ou seja, o nosso limite resulta em
Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!
Passo 4
Para que a série seja convergente é preciso que , portanto, temos que
Note que temos uma função modular, então para os valores de positivos, precisamos obedecer o intervalo , e quando os valores de são negativos, temos que obedecer , ou seja, o seguinte intervalo
Isso nos dá um intervalo de convergência prévio como
Não podemos dizer com certeza se o intervalo acima é o real conjunto de valores de em que a série converge, precisamos testar os extremos antes de afirmar isso. Mas, o resultado acima é suficiente para identificar o raio de convergência! Bora lá!
Passo 5
O raio de convergência é a distância dos extremos para o centro de convergência, os elementos do conjunto acima tem em seu centro o valor , que é obtido somando ao extremo inferior, e ao se somar ao centro de convergência obtemos o outro extremo, sendo ele , sendo assim, temos que o raio de convergência é tal que
Que é a alternativa . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!