UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 1
Se a série de potências , converge para , então é correto afirmar que
A série converge para .
A série converge para
A série diverge para
A série diverge para .
A série converge para .
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Na questão nos é dado que para temos que a série de potências é convergente! Temos que avaliar as seguintes afirmativas
A série converge para .
A série converge para
A série diverge para
A série diverge para .
A série converge para .
O enunciado dá poucas informações para seguirmos, no entanto, se considerarmos que é o extremo do raio de convergência, temos que a série converge ao menos para o seguinte intervalo
Note, que o extremo não necessariamente é convergente! Seria necessário verificar! Ou seja, a informação acima é o máximo que podemos tirar do enunciado! Nestas condições vamos avaliar as alternativas! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, a série converge para ? Não necessariamente, precisaríamos testar, com as informações do enunciado isso é impossível de determinar, portanto, não, a série não é convergente. A série converge para ? A igualdade faz parte desta desigualdade, então, pelo mesmo argumento anterior, a série não necessariamente converge sob estas condições, da mesma forma, não podemos afirmar que ela converge para . No entanto, se removermos as igualdades podemos sim garantir que ela irá divergir para e, que ela converge para . Ou seja, temos que as alternativas e são verdadeiras sob a condição que é o limite inferior do raio de convergência!
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Afirmativas e são corretas!