4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(i) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nosso objetivo nessa questão é julgar algumas informações como sendo verdadeira ou falsa provando o motivo da nossa escolha.

Nesse caso, a afirmação que temos que julgar nos diz que se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.

E então, será que é verdadeiro ou é falso? 🤔

Quando vamos obter um intervalo de convergência de uma série de potências, usamos o teste da razão e forçamos o limite ser < 1 .

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Entende essa parte? 😎

Passo 2

Mas o teste da razão tem um problema, quando o limite é igual a 1 , não podemos afirmar nada, ou seja, a série pode divergir ou convergir.

Isso abre uma brecha para que os extremos do intervalo de convergência possam convergir, por isso temos que verificar cada extremo individualmente.

Dessa forma, tirando o módulo do limite, temos um intervalo

- 1 < lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

E os extremos que não sabemos nada é dado por

- 1 = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Assim, se os dois extremos convergem, podemos dizer que os extremos convergem absolutamente, mas se um extremo converge e o outro não, esse extremo que converge, converge condicionalmente!

Por isso é importante avaliar cada extremo individualmente.

A partir daí, podemos dizer que a afirmação do enunciado é verdadeira!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Verdadeiro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n