UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4i.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(i) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nosso objetivo nessa questão é julgar algumas informações como sendo verdadeira ou falsa provando o motivo da nossa escolha.
Nesse caso, a afirmação que temos que julgar nos diz que se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
E então, será que é verdadeiro ou é falso? 🤔
Quando vamos obter um intervalo de convergência de uma série de potências, usamos o teste da razão e forçamos o limite ser .
Entende essa parte? 😎
Passo 2
Mas o teste da razão tem um problema, quando o limite é igual a , não podemos afirmar nada, ou seja, a série pode divergir ou convergir.
Isso abre uma brecha para que os extremos do intervalo de convergência possam convergir, por isso temos que verificar cada extremo individualmente.
Dessa forma, tirando o módulo do limite, temos um intervalo
E os extremos que não sabemos nada é dado por
Assim, se os dois extremos convergem, podemos dizer que os extremos convergem absolutamente, mas se um extremo converge e o outro não, esse extremo que converge, converge condicionalmente!
Por isso é importante avaliar cada extremo individualmente.
A partir daí, podemos dizer que a afirmação do enunciado é verdadeira!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Verdadeiro