UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4h.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(h) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Para essa questão, vamos julgar uma afirmação como verdadeira ou falsa, além de provar nosso resultado.
Nesse caso, a afirmação que vamos avaliar nos diz que se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, logo o outro extremo também deve convergir absolutamente.
E então, acha que é verdadeiro ou falso? 🤔
Quando definimos o intervalo de convergência de uma série de potências, usamos o teste da razão forçando o limite ser menor que , como por exemplo
Correto? 😉
Passo 2
Porém nesse teste, existe uma peculiaridade!
Quando o limite resulta em , nada se pode concluir, ou seja, quando tanto pode divergir quanto pode convergir.
Assim, nesses extremos onde o limite resulta em devemos analisar a convergência caso a caso.
Se em um extremo a série converge e também podemos escrever o teste da razão como
Então o outro extremo também deve converter absolutamente!
Logo a afirmação do enunciado é verdadeira!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
Verdadeira.