UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4j.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(j) Uma série de potencias pode convergir apenas em dois valores de .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
O que temos que fazer nessa questão é avaliar algumas afirmações e dizer se tal afirmação é verdadeira ou falsa, provando o porquê do nosso veredito.
Essa afirmação diz que dado uma série de potências , a convergência ocorre apenas em dois valores para que pertencem aos .
Será mesmo?? 🤔🤔
Antes de avaliar essa pergunta, vamos lembrar como definimos os valores para que fazem a série de potências convergir.
Chamamos de intervalo de convergência os intervalos de valores para que fazem a série convergir.
Para obter esse método usamos o teste da razão.
Lembra como é? 😁
Passo 2
O teste da razão é obtido através do limite do módulo de e forçamos a convergência fazendo o limite ser menor que , ou seja
Tirando o módulo do limite, podemos dizer que existe um intervalo de convergência em
Lembrando também que quando o limite é igual a pelo teste da razão, não podemos afirmar nada, então a série tem a possibilidade de convergir, o que deve ser analisado individualmente nos extremos do intervalo.
Dessa forma, uma série de potências não converge em apenas dois valores para , mas sim em um intervalo de valores.
Portanto a afirmação do enunciado está errada!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Falsa