UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.1c
Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
(c) .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, , sobre a curva fechada , usando o Teorema de Green.
O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:
Onde é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, e são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.
Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando as nossas componentes e . Assim, derivando em relação a , temos:
Repare que os termos que contém apenas vão funcionar como constantes na derivação em relação a e, por isso tem sua derivada nula. Da mesma forma, derivando , que é uma constante, em relação a , temos:
Então, nossa integral vai ficar:
Passo 3
Agora vamos definir nossa região de integração . O enunciado nos disse que a nossa curva é a circunferência . Vamos lembrar que a equação de uma circunferência tem a forma:
Onde é o centro da circunferência e é o raio. Então, repare que a nossa circunferência tem centro e raio . Sendo assim, usando as coordenadas polares:
Vamos ter:
Onde é o ângulo, que varia no intervalo e o raio varia no intervalo . Além disso, como temos no integrando, podemos escrever ele como , usando a relação que definimos. Assim, nossa integral vai ficar:
Passo 4
Integrando primeiro em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
Agora integrando em relação a :
Aplicando os limites em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉