UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.1d
Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
(d) é um círculo de raio e e são funções de classe na região delimitada pela curva .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, , sobre a curva fechada , usando o Teorema de Green.
O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:
Onde é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, e são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial, que nós podemos garantir que existem, porque o enunciado nos diz que e são funções de classe .
Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando as nossas componentes e . Repare que é uma função de e nós vamos derivá-la parcialmente em relação a . Da mesma forma, temos como uma função de , que vamos derivar parcialmente em relação a . Então, elas vão funcionar como constantes na derivação e teremos:
Então, nossa integral vai ficar:
Então, independente da nossa região , nossa integral tem valor nulo:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉