UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.1f
Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
(f) é a cardioide , .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, , sobre a curva fechada , usando o Teorema de Green.
O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:
Onde é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, e são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.
Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando as nossas componentes e . Primeiro derivando parcialmente em relação a , temos:
Agora derivando em relação a , temos:
Então, nossa integral vai ficar:
Passo 3
Agora precisamos definir nossa região de integração . O enunciado nos disse que a curva é a cardioide com . Isso já nos dá a dica para usarmos as coordenas polares:
Nosso integrando só tem , então vamos usar apenas . Além disso, a gente já sabe que o ângulo varia no intervalo e também podemos deduzir que o raio desse cardioide varia de até . Então, nossa integral dupla será:
Assim, vamos integrar primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Colocando a constante do lado de fora da integral:
Passo 4
Agora, antes de integrar, vamos substituir , de modo que :
Ainda tá complicadinho de integrar, então vamos chamar , de modo que :
Agora integrando de acordo com a regrinha da potência, temos:
Antes de aplicar os limites de integração precisamos voltar a nossa variável original :
Agora sim, aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉