Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(a) ∮_γ (sen(x) + 4xy)dx + (2x^2 - cos(y))dy; gamma é um arco simples fechado e regular.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ sin ⁡ x + 4 x y d x + 2 x 2 - cos ⁡ y d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, definir a região de integração e obter o valor da nossa integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = sin ⁡ x + 4 x y e F 2 = 2 x 2 - cos ⁡ y . Assim, derivando F 2 em relação a x , temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 2 - cos ⁡ y

∂ F 2 ∂ x = 4 x

Repare que o termo que contém apenas y vai funcionar como constante na derivada em relação a x , e por isso seu resultado é nulo. Da mesma forma, derivando F 1 em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ x sin ⁡ x + 4 x y

∂ F 1 ∂ y = 4 x

Passo 3

O enunciado nos disse que a nossa curva é um arco simples fechado e regular, e a partir dela nós teríamos nossos limites de integração. Mas repare que o nosso integrando vai ser nulo, porque:

∮ γ sin ⁡ x + 4 x y d x + 2 x 2 - cos ⁡ y d y = ∬ D 4 x - 4 x d x d y

= ∬ D 0 d x d y = 0

Então, independente da região D , nosso resultado também é nulo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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